중학 수학 최대 공약수, 최소공배수의 성질.

최대공약수

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• 공약수 : 두개이상의 자연수의 공통인 약수

- 약수 : 어떤수를 나누었을때 나누어 떨어지게 하는 자연수.

예) 8의 약수 : 1 , 2 , 4 , 8

• 최대 공약수의 성질 : 두개이상의 자연수의 공약수는 최대공약수의 약수이다.
  

예)

12와 8의 최대공약수 : 4다. 

12의 약수 : 1 2, 3, 4, 6, 12

8의 약수 : 1 , 2 , 4 , 8 

최대공약수 4의 약수는 : 1, 2 , 4 그러므로 

12와 8의 공약수는 최대공약수의 약수다. 

서로소

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• 서로소: 두수의 최대 공약수가 1뿐인 두수가 서로소 관계 라고한다.

• 1과 의 모든 수는 서로소 관계이다.     

- 예 ) 

 2, 3 은 서로소 관계이다. 

2, 3의 최대공약수는 1뿐이다.

6, 10은 서로소 관계가아니다.

6과 10의 최대공약수는 2이기 때문에 서로소 관계가 아니다.

※ 단. 두수가 소수라고해서 서로소 관계는 아니다.

소인수 분해를 이용한 최대 공약수 구하기.

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1. 두 수를 소인수 분해한다.
2. 소인수분해한 두수의 수를 밑 이 같은순으로 나열한다.
3. 지수가 낮은 수를 적는다.
4. 지수가 낮은수를 나열하면 최대공약수가 된다.

예)

18 과 24의 최대공약수를 소인수분해를 이용하여 구하라.

18 = 

24 = 

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         지수가 낮은 수를 가져온다.

최소공배수

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• 공배수 : 두개이상의 자연수의 공통인 배수

- 배수: 어떤수와 어떤정수를 곱하였을때 나오는수

예) 4의 배수 : 4 , 8 , 12 , 16 ,  ····

• 최대 공배수의 성질 : 두개이상의 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수이다.
  

예)

2와 3의 최소공배수는 : 6다. 

2의 배수 : 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 ,14 ,···

3의 배수 : 3, 6 , 9 , 12 , 15 , 18 ,···

최소공배수 6의 배수는 6, 12, ··· 이다. 

2와 3의 공배수는 최소공배수의 배수다. 

소인수 분해를 이용한 최소 공배수 구하기.

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1. 두 수를 소인수 분해한다.
2. 소인수분해한 두수의 수를 밑 이 같은순으로 나열한다.
3. 지수가 큰 수를 적는다.
4. 지수가 큰수로 나열하면 최대공약수가 된다.

예)

18 과 24의 최대공약수를 소인수분해를 이용하여 구하라.

18 = 

24 = 

==========

         지수가 큰수를 가져온다.

최대 공약수, 최소공배수의 활용.

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최대공약수

1. 최대 --> 가장큰, 최대로, 가능한 많이~
2. 공약수 (공통) -> 공통, 동시에, 똑같이 ,
3. 약수 --> 나누어 떨어지게 하는수 , 나누다.

문제의 유형 

1. 일정한 양의 물건을 최대한 많은 사람들에게 똑같이나누려고하는 문제.

2. 두개 이상의 자연수를 동시에 나누는 가장큰 자연수를 구하는 문제.

최소공배수

1. 최소 --> 처음부터, 최소로, 가장작은수~
2. 공배수 (공통) -> 공통, 동시에, 똑같이 ,
3. 배수 --> 출발하는~ , 곱하는, .

문제의 유형 

1. 움직이는 간격이 다른 두 버스가 동시에 출발하여 처음으로 다시 동시에 출발하는 시간을구하는문제

2. 두개이상의 자연수로 동시에 나누어 떨어지는 가장작은수

예)

 - 어떤 분수에 A를 곱하여 자연수로 만들고자 할때, A는 분모인 X의 배수여야만 자연수로 만들수 있다.

3. 톱니의 개수가 다른 톱니가 다시 맞물릴때 까지 회전수를 구하는 문제.

예) 두톱니 A,B 가 있다. A톱니는 60개, B톱니는 36개 의 톱니를 가지고있다. 이두 톱니바퀴에서 처음 맞물렸을때 다시 처음으로 맞물려게되면 A톱니가 몇바퀴 돌고난후인가.?

A 톱니 : 60개   , B톱니 36개

1. A, B두 톱니를 소인수분해 한다.

2. 소인수 분해한뒤 최소공배수를 구한다.

3. 최소공배수를 구한뒤 A톱니가 최소공배수가 되려면 얼만큼 더 돌아야하는지 구한다.

60의 소인수분해 : 
36의 소인수분해 : 

60과 30의 최소공배수 : 

3만큼더 곱해져야 최소공배수값이 된다. 즉 3바퀴더 돌아야한다.

4. 같은크기의 직사각형을 쌓아 가장작은 정사각형 만드는 문제.