50일 수학 30강 내용 2021-01-20

2차방정식의 실근의 부호

판별식 합 곱 으로 구할수 있다.

두 실근이 양근이 되는 조건은

판별식 >= 0 , 합 > 0, 곱  > 0

두실근이 음근이 되는 조건

판별식 >= 0 , 합 < 0 , 곱 > 0 

두실근이 서로다른 부호를 가지는 조건

판별식 은 구할필요가 없고, 

곱은 < 0 
합은 특별한 조건이 없으면 구할수 없다. 이유 : 두근의 절대값에 따라 부호가 변경되기 때문이다.

삼차 방정식 4차 방정식 고차 방정식의 인수분해

(x+a)(x+b) 전개 하는방법

x^2  + (합 ) x  + (곱) = x^2 (a+b)x + ab = 0

(x+a)(x+b)(x+c) 전개하는방법

x^3+ (합) x^2+ (둘씩곱해서 더한것  )x + (계수의 곱) 

복이차 식

x^4  + x^2 + 상수 = 0 형태로 된 식을 복이차식 이다.

복이차식은 2가지 패턴이 존재한다.

1 x^2 을 치환하여 인수분해가 되는 패턴과
2. 치환해도 인수분해가 되지않는 패턴.

인수분해가 되지 않는 패턴에선

(   )^2 - (  ) ^2  = 0 패턴으로 바꿔야한다.

x^4 -7x^2 + 9 = 0 

풀이법

x^4   과  + 9 는 냅두고

x^2의 계수를 바꿔줘야한다.

완전제곱식을 상수로 만드는 방법은 

루트 씌우고 2배 해주면 된다.

9 에 루트를 씌우면 3 이되고 제곱해주면 6 이된다.

그럼 


1.  x^4 - 6^2 + 9  -x*2  = 0 
2. x^4 + 6x^2 +9 -13x^2 = 0

2개 가 나오는데  2번 은 제곱수 가 아니라 계산이 어렵다. 
1번 으로 변경하여

(x^4-6x^2 + 9)  - (x)^2 = 0

(x^2 - 3)^2 - (x)^2 = 0

(x^2-x-3)(x^2+x-3) = 0 형태로 나타낼수 있고

인수분해가 되지않으므로 근의 공식으로 풀이하면 근을 구할수 있다.


- 2차방정식의 근과 계수의 관계

ax^2 + bx+c  =  p+q , pq

계수 만가지고 근의 합과 곱을 구할수 있다.

두근의 합 = -a/b
두근의 곱 = a/c

- 3차 방정식도 근과 계수의 관계를 알수 있다.

ax^3+bx^2+cx+d 

3차 방정식에선 

합
둘씩곱해서 더한값
곱

을가지고 근과 계수의 관계를 알수 있다.

세근의 합 = -a/b
세근을 둘씩 곱해서 더한값 = a/c
세근의 곱 = -a/d